当涉及到最小树形图的求解时，朱刘算法（由朱永津和刘振宏提出）是一种常用的有效算法。以下是一个基于朱刘算法的最小树形图模板的简要分享，主要侧重于算法的核心步骤和思路，而不涉及具体的编程语言细节。
### 最小树形图朱刘算法模板
#### 1. 算法概述
朱刘算法旨在寻找有向带权图中以指定顶点为根的最小树形图（Minimum Spanning Tree，MST）。算法基于贪心思想和缩点（即将有向环收缩为一个点）的策略。
#### 2. 算法步骤
##### 步骤1: 初始化
- **输入**：有向图G = (V, E)，其中V是顶点集合，E是边集合，以及根顶点root。
- **输出**：以root为根的最小树形图的权值和（或最小树形图本身）。
- 初始化每个顶点的最小入边权值为无穷大，记录每个顶点的最小入边的前驱顶点。
##### 步骤2: 求最短弧集合E0
- 对于每个非根顶点v，找到指向v的所有边中权值最小的边，即v的最小入边，并更新v的最小入边权值和前驱顶点。
- 如果存在没有入边的顶点（非根顶点），则不存在最小树形图，算法结束。
##### 步骤3: 判断并处理有向环
- 对于每个非根顶点v，通过前驱顶点链找到可能的环。
- 如果发现环，将环内的所有顶点收缩为一个新的顶点（缩点），并更新图中边的权值。
- 对于环外的顶点指向环内顶点的边，权值减去环内顶点到该环的最小入边权值。
- 对于环内顶点指向环外顶点的边，权值不变。
##### 步骤4: 重复步骤2和3
- 在新的图（可能包含缩点）上重复步骤2和3，直到图中不再包含有向环。
##### 步骤5: 输出结果
- 如果最终得到了一个不包含有向环的图，并且所有顶点都通过边与根顶点相连，则这个图就是以root为根的最小树形图。
- 输出最小树形图的权值和（所有边的权值之和）。
#### 3. 注意事项
- **自环处理**：在算法开始前，应清除所有自环，因为自环不可能存在于任何最小树形图中。
- **连通性检查**：在每次迭代后，检查是否所有非根顶点都有入边，以确保图的连通性。
- **缩点后的处理**：在缩点过程中，需要正确处理边权值的变更，以避免重复计算或遗漏。
#### 4. 结论
朱刘算法是解决有向图最小树形图问题的一种有效方法，它通过贪心选择和缩点技术逐步构建最小树形图。虽然算法的实现细节可能因具体编程语言和数据结构的不同而有所差异，但其核心思想和步骤是通用的。